Denklemler Konu Anlatımı, Matematiğin en temel konularından ve her konu içinde az da olsa karşımıza çıkan bir konudur. Denklemin içerisindeki bilinmeyeni ( x değerini ) bulmaktır. Bu eşitlik sistemlerini eşit kollu teraziye benzetirsek bu terazinin dengede durabilmesi için her iki yanında eşit olması gerekir. Denklem sistemlerinde de aynı mantık vardır. Eşitliklerin her iki yanında eşit olması gerekmektedir.
Denklemler Konu Anlatımı,
Bir Bilinmeyenli Denklemler
a sıfıra eşit değil ise, a ve b reel sayıların elemanı ise ax + b =0 denkleminde birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Bu denklem sisteminde denklemin çözümünü sağlayan x değerine denklemin kökü, denklemin köklerinden oluşan küme ise denklemin çözüm kümesidir. ax+ b=0 ve ax=-b x=-b/a (denklemin kökü) Denklemin çözüm kümesi (Ç.K)={-b/a}'dır.
Örnek:7x+4=-1 kümesinin çözüm kümesi nedir?
7x+4=-1 -4
7x=-5
x=-5/7 Denkleminin çözüm kümesi={ -5/7}
ax + b = 0 denkleminde çözüm kümesi bulunurken 3 durum söz konusudur.
- 1. durum; a sıfıra eşit değil ise ax+b = 0 x=-b/a Ç.K={-b/a}
- 2. durum; a sıfıra eşit ve b sıfıra eşit ise ax+b=0 0x+0=0 0=0 olduğunda denklem, x değişkenine bağlı olmaksızın yani her x reel sayısı için sağlanır. Ç.K= IR Bu denklem sisteminin çözüm kümesi sonsuz elemanlıdır.
- 3.durum; a eşit ise sıfıra ve b eşit değil ise sıfıra ax + b = 0 0x+b= 0 b=0 bu işlemde b eşit değil sıfır olduğunda denklemin çözümünün b'nin sıfır olması çelişkilidir. Bu çelişki " denklemi sağlayan hiç bir sayı yoktur " sonucunu getirir. Bu durum da Ç.K={}'dir. Burada çözüm kümesinin hiç bir elemanı yoktur. Bu denklemi için çözüm kümesi boş kümedir.
Soru: 2.m.x-3.n = 4.x-9 denkleminde x' in bütün reel sayı değerleri için sağlanmaktadır. Buna göre m+n toplamı kaçtır?
2.m.x-3.n= 4x-9 denklemini ax+b=0 formuna dönüştürelim.
2.m.x-4.x-3.n+9=0
X(2.m-4)+9-3n=0 bu denklemin çözüm kümesi sonsuz elemanlı olduğu için 2.m-4=0 ise m=2 9-3n=0 ise n=3'tür. Sonuç ise m+n=2+3 =5'tir
İki Bilinmeyenli Denklemler
a, b, c birer gerçel (reel) sayı, a eşit değil 0 ve b eşit değil sıfır olmak üzere a.x + b.y + c.z=0 biçiminde yazılabilen eşitliklere birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem denir.
a.x + b.y + c=0
d.x + e.y +f =0 biçiminde yazılan denklemlerde çözüm için üç yöntem söz konusudur.
Yok Etme Metodu; verilen iki denklemden değişkenlerden bir tanesinin kat sayısı, sayı değeri aynı işareti farklı olacak biçimde düzenlenir. Değişkenlerin birbirlerini yok etmesi içim denklemler taraf tarafa toplanır.
örnek: 3.x+2.y =38
5.x-2.y =26 olduğuna göre x kaçtır?
3.x+2.y =38
5.x-2.y=26
8x=64 X=8
Yerine Koyma Metodu; verilen denklemlerin herhangi birinin değişkenlerinin bir tanesi yalnız bırakıp bulunan ifadenin diğer denklemler de yerine yazılmasıyla sonuca ulaşılır.
Soru: x-y=5
2.x+3.y=15 olduğuna göre x+y toplamı kaçtır ?
x=5+y şeklinde düzenlenip 2(5+y)+3.y=15 şeklinde yazılır. 10+2y+3.y=15 5y=5 y=1
x-y=5 x-1=5 x=6 x+y = 1+6 =7
Karşılaştırma Metodu; a=b ve b=c ise bu iki denklemde aynı olan ifadeler var ise iki eşitlik birbirine eşittir. a=c olur.
Soru: x=2.y+4
x= y-1 olduğuna göre x+y nedir.?
2.y +4 =y-1 2.y-y =-4-1 y=-5 x=-5-1= -6 x+y=-6+-5= -11
Özel Denklemler
- Bu denklemlerin en önemli özelliği verilen denklem tipine göre harekete geçilmesidir. Genelde toplama çıkarmalı denklemlerde taraf tarafa toplanır, çarpma bölmeli olanlarda taraf tarafa çarpılarak veya bölünerek çözülür.
Soru: a+b=10
b+c=14
c+a= 12 olduğuna göre a+b+c toplamı kaçtır?
2a+2b+2c =36 2 (a+b+c)=36 a+b+c=18
- Bir parantez (tam kare) ifadenin, bir mutlak değer ifadenin ve karekök ifadenin toplamı sıfır ise her birinin sıfıra eşit olduğunu rahatlıkla söyleyebiliriz. Çünkü bu ifadenin her birinin alabileceği en küçük değer sıfırdır.
Soru: l x-7 l + l y-4l=0 olduğuna göre x+y toplamı kaçtır?
x-7=0 y-4=0
x=7 y=4 x+y=7+4=11
